Miles de escolares de Lima participan en el 16° Conamat

Realizan su ingreso a sus respectivas sedes ubicadas en seis distritos de Lima Metropolitana.

Llegó el día decisivo para los colegios inscritos en las seis sedes distritales de Lima Metropolitana (Villa El Salvador, Cercado, Breña, San Juan de Lurigancho, Ate, Los Olivos). Desde tempranas horas de la mañana, cientos de delegaciones de escolares se movilizaron a sus respectivas sedes, con alegría, entusiasmo y mucho optimismo por lograr un cupo a la final de Concurso Nacional de Matemática César Vallejo (Conamat).

Participan de esta fecha Eliminatoria, además,  de los colegios de Lima Metropolitana, instituciones educativas de las regiones de  Áncash, Ica, Huaral, Huacho entre otras provincias de la región Lima, quienes llegaron en caravanas de buses juntos  a sus profesores asesores y de la familia en general (padres, hermanos, tío y primos), que le dan a este concurso un matiz de fiesta e integración en torno de las matemáticas.

Cabe destacar que en cada una de las sedes se realizarán ferias de libro, talleres y charlas sobre la enseñanza de la matemática y de orientación familiar.

El examen está programado para las 9:30 de la mañana y tendrá una duración de una hora.

Tales de Mileto y su alargada sombra

Tales nació en Mileto en el año 624 a.C., no se sabe muy bien cuanto vivió pero las distintas referencias a su edad coinciden en que, probablemente, superó los ochenta años. Fue filósofo, matemático y también participó en la vida política de su tiempo. Como filósofo, fue uno de los primeros en buscar el origen de todo lo que existe. Su idea principal nos la transmitió Aristóteles en su tratado sobre Metafísica. “Tales de Mileto – escribe Aristóteles – pensaba que el agua era la base de todas las cosas.”. Como matemático han trascendido muchas cosas de él, hasta el punto que se dice que fue el creador de la geometría, de hecho, el Teorema de Tales ocupa un puesto de honor en los libros de matemáticas e ingeniería en la actualidad.

Platón y Tales.

Ninguna obra escrita por Tales ha llegado hasta nosotros, pero su fama fue creciendo con los años y, como siempre sucede, con el fluir del tiempo, su verdadera historia se fue mezclando con los mitos. Muchos filósofos, historiadores y literatos han hablado de Tales de Mileto.

En su diálogo dedicado a Teeteto (Theaetetus) Platón pone en boca de Sócrates la siguiente anécdota:

“SOCRATES: Cuéntase, Teodoro, que, ocupado Tales en la astronomía y mirando a lo alto, cayó un día en un pozo y que una sirvienta de Tracia, de espíritu alegre y burlón, se rió de él diciendo que quería saber lo que pasaba en el cielo y que se olvidaba de lo que tenía delante de sí y a sus pies. “

Teeteto es uno de los Diálogos que Platón escribió durante la última etapa de su vida, casi dos siglos después de la muerte de Tales. No obstante, nadie duda de que el filósofo tuvo a su alcance obras de Tales, o de sus contemporáneos, que han llegado hasta nosotros.

Herodoto y Tales

Entre las obras que seguramente tuvo Platón en sus manos, y que han sobrevivido, están los Nueve Libros de Historia que escribió el historiador Herodoto de Halicarnaso (484 – 425 a. C). En el primero de sus libros, Herodoto menciona al sabio de Mileto con el nombre de Tales Milesio. He aquí una traducción del texto:

“ … se originó entre Lydios y bledos una guerra que duró cinco años, en cuyo tiempo la victoria se declaró alternativamente por unos y otros. En las diferentes batallas que se dieron, hubo una nocturna en el año sexto de la guerra que ambas naciones proseguían con igual suceso, porque en medio de la batalla misma se les convirtió el día repentinamente en noche; mutación que Tales Milesio había predicho a los Jonios, fijando el término de ella en aquel año mismo en que sucedió. Entonces Lydios y Medos, viendo el día convertido en noche, no solo dejaron la batalla comenzada, sino que tanto los unos como los otros se apresuraron a poner fin a sus discordias con un tratado de paz …”

En otro pasaje del mismo libro, Herodoto cuenta una segunda historia que también tiene a Tales como protagonista.

“… Irritado Creso contra el proceder de Cyro, envió primero a saber de los oráculos si sería bien emprender la guerra contra los Persas; y persuadido de que la respuesta capciosa que le dieron era favorable a sus intentos, emprendió después aquella expedición contra una provincia persa. Luego que llegó Creso al río Halys, pasó su ejército por los puentes que, según mi opinión, allí mismo había, a pesar de que los Griegos refieren que fue Tales Milesio quien le facilitó el modo de pasarlo, porque dicen que no sabiendo Creso cómo haría para que pasasen sus tropas a la otra parte del río, por no existir entonces los puentes que hay ahora, Tales, que se hallaba en el campo, le dio un expediente para que el río que corría a la siniestra del ejército corriese también a la derecha. Dicen que por más arriba de los reales hizo abrir un cauce profundo, que en forma de semicírculo cogiese al ejército por las espaldas, y que así extrajo una parte del agua, y volvió a introducirla en el río por más abajo del campo, con lo cual, formándose dos corrientes, quedaron ambas igualmente vadeables; y aun quieren algunos que la madre antigua quedase del todo seca, con lo que yo no me conformo, porque entonces ¿cómo hubieran podido repasar el río cuando estuviesen de vuelta? …”

Ya lo ven, el propio Herodoto expresa sus dudas sobre lo sucedido en realidad, no obstante, deja constancia de cómo los griegos admiraban los conocimientos y la habilidad de Tales a la hora de afrontar problemas prácticos.

Aristóteles y Tales

Aristóteles ((384 – 322 a. C.) no sólo nos dejó constancia de las ideas filosóficas de Tales, también comentó una de sus acciones más sonadas. En su obra “Política” el filósofo escribe:

“Citaré lo que se refiere a Tales de Mileto, a propósito de una especulación lucrativa que le dio un crédito singular, honor debido sin duda a su saber, pero que está al alcance de todo el mundo. Gracias a sus conocimientos en astronomía pudo presumir, desde el invierno, que la recolección próxima de aceite sería abundante, y al intento de responder a algunos cargos que se le hacían por su pobreza, de la cual no había podido librarle su inútil filosofía, empleó el poco dinero que poseía en darlo en garantía para el arriendo de todas las prensas de Mileto y de Quíos; y las obtuvo baratas, porque no hubo otros licitadores. Pero cuando llegó el tiempo oportuno, las prensas eran buscadas de repente por un crecido número de cultivadores, y él se las subarrendó al precio que quiso. La utilidad fue grande; y Tales probó por esta acertada especulación que los filósofos, cuando quieren, saben fácilmente enriquecerse, por más que no sea éste el objeto de su atención.”

Diógenes Laertius y otros

Otro de los éxitos que se atribuyen a Tales es el cálculo de la altura de las grandes pirámides de Egipto. Son varios los autores de la antigüedad que lo afirman: Diógenes Laertius, escritor del siglo II d.C., cita Hieronymus, un alumno de Aristóteles:

“Hieronymus dice que [Tales] logró medir la altura de las pirámides observando la longitud de su sombra en el mismo momento en el que la sombra de un hombre es igual a su altura.

La genialidad de esta observación se ve superada por la descripción que hace Plutarco (46 – 122 d.C) de la misma historia:

“… colocó una estaca en el extremo de la sombra del vértice superior de la pirámide, así, construyendo dos triángulos con los rayos del Sol, demostró que la razón entre la altura de la pirámide y la estaca es la misma que la razón entre sus respectivas sombras.”

Con esta observación, ni siquiera es necesario que la altura coincida con la longitud de la sombra y deja constancia de lo que le daría fama hasta hoy al filósofo y matemático griego: El Teorema de Tales.

El matemático que nunca existió, el Sputnik y la teoría de conjuntos

En 1939, un matemático desconocido, de apellido Bourbaki, comenzó la publicación de un ambicioso tratado, titulado Elementos de matemática, con la pretensión de compendiar la totalidad de las matemáticas como una materia unitaria, de manera que las relaciones entre las distintas ramas de la disciplina quedaran claramente visibles. Por eso el título del tratado se refiere a la matemática, en singular. Ese año se publicó parte del primer volumen, el Fascículo de resultados de la Teoría de conjuntos. En 1998, Bourbaki publicó Profundidad, regularidad, dualidad, último capítulo del volumen dedicado al Álgebra conmutativa y última sección publicada hasta la fecha.

¿Quién es ese longevo matemático, cuya carrera se ha extendido durante sesenta años? La primera noticia que tuvo la comunidad científica sobre su existencia fue una conferencia que tuvo lugar en la Escuela Normal Superior de París en 1923, en la que un tal Holmgren presentó ante un grupo de alumnos la demostración del teorema de Bourbaki. Pero no fue más que una broma muy elaborada; la presunta demostración estaba basada en argumentos incomprensibles y en razonamientos sutilmente falsos. El profesor Holmgren era en realidad un alumno de tercero, Raoul Husson (que posteriormente fue un famoso logopeda), disfrazado con una barba. Parece ser que Husson tomó el nombre de Bourbaki del general Charles Bourbaki, bajo cuyas órdenes habían servido muchos alumnos de la Escuela Normal durante la guerra franco-prusiana de 1870. El teorema de Bourbaki no existe.

La broma divirtió tanto a un grupo de estudiantes y licenciados de Matemáticas que más tarde se apropiaron del nombre. Estos matemáticos, insatisfechos con los libros de texto disponibles en su época, y sin predecesores inmediatos en la Universidad, diezmados por la Primera Guerra Mundial, formaron en 1935 el grupo Bourbaki con la intención de redactar un tratado de análisis matemático. Con el tiempo, sus objetivos se hicieron más ambiciosos; tanto que, a día de hoy, los Elementos de matemática de Bourbaki continúan inconclusos.

Congreso Bourbaki de 1938

Los miembros fundadores del grupo Bourbaki fueron nueve, de los que ocho habían sido estudiantes de la Escuela Normal Superior. El más conocido era André Weil, fundador de la moderna geometría algebraica. Las reglas del grupo obligan a sus miembros a retirarse cuando cumplen los 50 años, para dejar paso a las nuevas generaciones. Decenas de matemáticos de primera línea, en su mayoría franceses, han pasado por el grupo Bourbaki, que sigue vivo en la actualidad, aunque la identidad de sus miembros en activo se mantiene en secreto.

Hemos dicho antes que el teorema de Bourbaki no existe, pero eso no es del todo cierto. Aunque es cierto que no existía en 1923, desde entonces se han enunciado dos teoremas que llevan ese nombre: el teorema de Bourbaki-Witt, un teorema de punto fijo para conjuntos parcialmente ordenados; y el teorema de Jacobson-Bourbaki, enunciado en 1947 por Nathan Jacobson y Henri Cartan; éste último, miembro fundador del grupo Bourbaki, citó como una de sus fuentes en la publicación del teorema un trabajo inédito del propio Bourbaki.

A lo largo de los años se han ido añadiendo detalles a la biografía imaginaria de Bourbaki. Su nombre propio, Nicolas, fue elegido por la futura esposa de Weil, Éveline de Possel, para una nota biográfica que se presentó a la Academia de Ciencias francesa. Weil hizo a Bourbaki profesor en Poldavia y miembro canónico de la Academia Real de ese país imaginario de Europa Central. También se le han otorgado los títulos de Gran Maestre de la Orden de los Compactos, Conservador de los Uniformes y Lord Protector de los Filtros. Además de los tratados de matemática, el grupo Bourbaki ha publicado, demostrando que los científicos también tenemos sentido del humor, varios poemas, una invitación ficticia a la boda de la hija del propio Bourbaki, e incluso la esquela de su defunción, supuestamente acaecida el 11 de noviembre de 1968. Según esa esquela, Bourbaki fue enterrado en el cementerio de las funciones aleatorias, y el cardenal Alefuno ofició una misa en la iglesia de Nuestra Señora de los Problemas Universales en presencia de todas las clases de equivalencia y de los cuerpos (algebraicamente cerrados) constituidos. El lector interesado en estas bromas matemáticas puede leer los textos completos originales (en francés) en la web del matemático Luck Darnière, de la Universidad de Angers. ¿Quizá se trata de uno de los miembros actuales del grupo Bourbaki?

La aportación del grupo Bourbaki a la matemática ha sido y continúa siendo inmensa; le debemos, entre otras cosas, la clarificación, precisión y estructuración de la matemática moderna, y la popularización de los grupos y álgebras de Lie, indispensables en muchos campos de la matemática contemporánea y de la física teórica. Pero el grupo Bourbaki también es responsable, aunque sólo sea en parte e indirectamente, de uno de los mayores desastres educativos del siglo XX. Tras el lanzamiento en 1957 del primer satélite artificial, el Sputnik soviético, los países occidentales, temerosos de quedarse atrás en la carrera científica y tecnológica, diseñaron una reforma de la enseñanza de las matemáticas en las escuelas muy influida por las ideas del grupo Bourbaki. En ella se potenciaba el estudio de los aspectos más teóricos y formales, como la teoría de conjuntos y el sistema binario de numeración, en detrimento de la aritmética y de la geometría tradicionales, más cercanas a la experiencia de los alumnos, y por tanto más asequibles. La reforma fue un fracaso, salvo para unos pocos superdotados, y se abandonó en los años setenta. En España tuvimos que sufrirla los que estudiamos en la época de la EGB.

Paolo Ruffini, un gran matemático ignorado

El matemático y médico italiano Paolo Ruffini nació el 22 de septiembre de 1765 en la localidad de Valentano, en aquella época perteneciente a los Estados Pontificios.

Su padre era el médico local. Más tarde, la familia se trasladó a Reggio, en el norte de la actual Italia y Paolo se matriculó en la universidad de Módena para estudiar matemáticas, medicina, filosofía y literatura.

Entre sus profesores estaban Fantini, que le enseñó geometría y Cassiani que le enseñó cálculo. Se graduó en 1788. Ese mismo año fue nombrado profesor de fundamentos de análisis y, poco después, de la asignatura de Elementos Matemáticos en la universidad de Módena. En 1791 obtuvo permiso para ejercer la medicina e impartir clases de clínica médica en la misma Universidad.

En 1796, tras la ocupación de Módena por las tropas francesas, fue elegido representante de la República Cisalpina creada por Napoleón.

Dos años después reanudó sus actividades científicas y al negarse a pronunciar el juramento de fidelidad a la República Cisalpina fue apartado de la docencia y cargos públicos.

Una vida con filosofía

Ruffini era un hombre tranquilo que se tomaba la vida con filosofía por lo que asumió la nueva situación de una forma positiva. Si no podía enseñar matemáticas, tenía más tiempo para dedicarse a la medicina y a sus pacientes.

Ejerció como médico durante 7 años, hasta la caída de Napoleón. En 1806 volvió a enseñar de nuevo matemáticas aplicadas en la Escuela Militar y en 1814 fue nombrado rector de la Universidad de Módena.

Entre 1817 y 1818 estudió la enfermedad del tifus al declararse una epidemia. Atendió a sus pacientes hasta que él mismo enfermó. Y aunque se recuperó parcialmente, tuvo que renunciar a su cátedra de medicina clínica. Pero no abandonó su trabajo científico y en 1820 publicó un artículo sobre el tifus basado en su propia experiencia.

Ruffini perteneció a las más doctas corporaciones de la Italia de su tiempo y llegó a ser Presidente del Instituto Italiano de las Ciencias. Pero es conocido -sobre todo- por haber descubierto el método que lleva su nombre para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de la forma x-a.

Las ecuaciones algebraicas.

Otra de sus grandes contribuciones a las Matemáticas fue la demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y superiores, aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Abel.

En aquella época, todo el mundo -incluido el matemático Lagrange- creía que las ecuaciones de quinto grado o quínticas podrían resolverse por radicales.

Sin embargo, Ruffini aseguró todo lo contrario, basándose en la teoría de grupos siguiendo y superando a Lagrange en el uso de permutaciones.

Ruffini fue el primero en definir el concepto de orden de un elemento, conjugación, descomposición en ciclos disjuntos y también en considerar subgrupos primitivos e imprimitivos de permutaciones.

Demostró el teorema de que el orden de una permutación es el mínimo común múltiplo de las longitudes de sus ciclos disjuntos. También que una permutación de cinco elementos que tenga orden cinco es necesariamente un ciclo de longitud cinco.

Pero la mayoría de los matemáticos de su época ignoraron a Ruffini, pues se adelantó a su tiempo con una demostración para la que no estaban preparados, incluido Lagrange. Y además se anticipó a la teoría de grupos, desarrollada más tarde por Galois.

Ruffini escribió también sobre filosofía polemizando con las ideas de Laplace. Entre sus obras destacan Teoría general de la ecuación general de grado superior al cuarto y Reflexión en torno a la solución de la ecuación algebraica general. Murió en Módena el 10 de mayo de 1822.

EL PAPIRO DE MOSCÚ

El papiro de Moscú, es junto con el de Rhind

el más importante documento matemático del Antiguo Egipto. Fue comprado por Golenishchev en el año 1883, a través de Abd-el Radard, una de las personas que descubrió el escondite de momias reales de Deir el Bahari. Originalmente se le conocía como Papiro Golenishchev pero desde 1912, cuando fue a parar al Museo de Bellas Artes de Moscú (nº 4576), se conoce como Papiro de Moscú. Con 5 metros de longitud y tan sólo 8 cm de anchura consta de 25 problemas, aunque algunos se encuentran demasiado dañados para poder ser interpretados. El papiro fue escrito en hierática en torno al 1890 a.C. (XII dinastía) por un escriba desconocido, que no era tan meticuloso como Ahmes, el escriba del papiro Rhind. Se desconoce el objetivo con el que fue escrito. En la imagen que mostramos se puede ver el original en hierática y la traducción en jeroglífico.

De los 25 problemas de que consta hay 2 que destacan sobre el resto; son los relativos al cálculo del volumen de una pirámide truncada (problema 14, que aparece en la imagen anterior), y el área de una superficie parecida a un cesto (problema 10). Este último es uno de los problemas más complicados de entender, pues no está clara la figura, y si la figura buscada fuese un cesto o un hemisferio entonces sería el primer cálculo de tal superficie conocido.

El contenido del Papiro de Moscú publicado por Richard J. Gillins en "Mathematics in the time of the pharaophs" es el siguiente

Problema	Descripción
1-2	Ilegibles
3	Altura de un poste de madera
4	Área de un triángulo
5	"Pesus" de barras y pan
6	Área del rectángulo
7	Área de un triángulo
8-9	"Pesus" de barras y pan
10	Área de una superficie curva
11	"Barras y cestos" (?)
12	"Pesu" de cerveza
13	"Pesu" de barras y cerveza
14	Volumen de una pirámide truncada
15-16	"Pesu" de cerveza
17	Área de triángulo
18	Mediciones en palmos y codos.
19	Ecuación lineal
20	Fracciones de Horus
21	Mezcla de pan de sacrifio
22	"Pesus" de barras y cerveza
23	Cálculo del trabajo de un zapatero. Oscuro
24	Intercambios
25	Ecuación 2x+x = 9

Los problemas que aparecen en el papiro de Moscú no están tan trabajados como los que escribió Ahmes. Una prueba de ello es el problema número 21, referente al cálculo de pan para sacrificios. En este problema el escriba dice: "Método para calcular la mezcla de pan para sacrificios. Si te dicen 20 medidas como 1/8 de hekat y 40 medidas como 1/16 de un hekat, calcula 1/8 de 20. Resulta 2 1/2. Calcula ahora 1/16 de 40. Resulte 2 1/2. El total de ambas mitades es 5. Calcula ahora la suma de las otras mitades. El resultado es ahora 60. Divide 5 entre 60. Resulta 1/12. Entonces la mezcla es 1/12. (Si a primera vista no lo entiendes no te preocupes, pero la verdad es que es así de oscuro).

A continuación reproducimos los 2 problemas más interesantes del papiro de Moscu, el 10 y el 14.

  Problema 10

En este problema se pide calcular el área de una superficie que en principio parece un cesto de diámetro 4.5. La resolución parece emplear la fórmula S = (1 - 1/9)² (2x)*x, siendo x = 4.5. El resultado final que aparece es de 32 unidades. Si tenemos en cuenta que (1 - 1/9)² es el valor correspondiente a /4 para = 3 1/6 que, como hemos visto en el capítulo referente a geometría, era el valor empleado, entonces la superficie a analizar podría corresponderse perfectamente con una semiesfera de diámetro 4.5. Si esto fuese asi, tal y como se pensó en 1930, sería el primer resultado de cálculo del área de un hemisferio, anterior en 1500 años a los primeros cálculos conocidos sobre el área de una esfera. Posteriormente se sugirió que la figura que aparece representada podría ser un tejado semicilíndrico de diámetro 4.5 y longitud 4.5, cuya resolución es más lógica y sencilla que la de la esfera. En cualquier caso, tanto si se trata de un hemisferio como de un tejado semicilíndrico lo que si es cierto es que es uno de los primeros intentos de cálculo del área de una superficie curvilínea.

 

Problema 14

En este problema se pide calcular el área de la figura, que parece ser un trapecio isósceles, pero realmente se refiere a un tronco de pirámide cuadrangular. Alrededor de la figura pueden verse los signos hieráticos que definen las dimensiones. En la parte superior aparece un 2, en la inferior un 4 y dentro de la figura un 56 y un 6. Según se desarrolla el problema, parece ser que lo que se busca es calcular el volumen del tronco de pirámide cuadrangular de altura 6 y bases superior e inferior de 2 y 4. El desarrollo es el siguiente: - Elevar al cuadrado 2 y 4
- Multplicar 2 por 4
- Sumar los resultados anteriores
- Multiplicar el resultado anterior por un tercio de 6. El resultado es 56 El escriba finaliza diciendo "Ves, es 56; lo has calculado correctamente". Analizando el desarrollo vemos que lo que se ha aplicado es la fórmula: V = h(a² + b² + ab)/3

que por supuesto no aparece escrita en el papiro. Si consideramos ahora b=0, como se hace en el cálculo del volumen que aparece representado en Edfú, entonces se obtiene el volumen de una pirámide.

 

Fuente: egiptología.org.